Подготовил два примера с упомянутым выше калькулятором.

(Для ясности подчеркну: интересуюсь физикой, на роль эксперта в космонавтике не претендую. Оценки делаю в грубом приближении, по простейшим модельным формулам физики. Цель - посмотреть, согласуются ли такие оценки с данными из СМИ (книг, интернета) хотя бы с точностью в полтора-два раза. Отсутствие расхождений в десятки раз называю "согласием по порядку величины", и считаю подтверждением того, что такие данные из СМИ не противоречат законам физики.)

Пример 1: АМС "Луна-16". Рассмотрим отдельно этапы полёта.

По данным СМИ:

1. При старте с Земли на орбиту искусственного спутника Земли (ИСЗ) стартовая масса составляла 705 тонн. Удельный импульс ступеней двигателя: от 288 сек до 320 сек. Масса полезной нагрузки: 23 т.

В калькуляторе:

Умножим округлённый удельный импульс (в секундах) 300 на 9.8 (м/сек^2), получим тем самым оценку для скорости истечения газов в реактивной струе: Vг = 2940 м/сек. Это же значение я использую и в дальнейших оценках, для их единообразия.

Поскольку на первом этапе речь идёт о выводе ракеты с Земли на низкую орбиту ИСЗ, то изменение скорости V возьмём равным 1-й космической скорости у Земли; согласно калькулятору: V=7906 м/сек. Тогда формула Циолковского даёт для выводимой на орбиту ИСЗ массы:

705·exp(-7906/2940)=47.9 (т)

Это больше, чем 23 тонны по данным СМИ. Такое "согласие" я воспринимаю как хорошее: по порядку величины оценка получилась верная, а лучшей точности здесь нельзя и ожидать так как, строго говоря, простая формула Циолковского не может быть точной на этапе взлёта.

(При взлёте важную роль играет земное тяготение и давление атмосферы, эффективно снижающее параметр Vг. Из-за этих факторов, не учтённых в формуле Циолковского, выводимая масса на практике оказывается меньше, чем получилась бы при разгоне в вакууме притом без противодействующей силы гравитации - такой завышенный ответ даёт формула Циолковского.)

2. Разгон с орбиты ИСЗ на траекторию полёта к Луне.

По данным СМИ: последняя ступень двигателя увеличила скорость ракеты до примерно 11000 м/сек, при этом масса ракеты, отправившейся к Луне, составила 5725 кг.

В калькуляторе:

Изменение скорости V подсчитываем как разность между 2-й космической у Земли (калькулятор даёт для неё значение 11181 м/сек, близкое к указанной в СМИ скорости 11000 м/сек) и предыдущей скоростью (7906 м/сек): V=3275 м/сек. Массу перед разгоном в формуле Циолковского берём равной 23 тонны = 23000 кг. Тогда формула Циолковского даёт для массы, выводимой на траекторию полёта к Луне:

23000·exp(-3275/2940)=7550 (кг)

Это немного больше, чем реальные 5725 кг (наверное, опять потому, что у нас не учтено противодействовашее разгону земное тяготение), однако "по порядку величины" согласие получилось хорошее.

3. Пассивный (т.е. без разгона или торможения двигателем) полёт к Луне:

Данных в СМИ об этом этапе мне не попалось, посчитаем кое-что сами. По мере удаления ракеты от Земли ракета тормозится гравитацией Земли. На расстоянии 60 радиусов Земли (примерно таково расстояние между Землёй и Луной), если бы не было Луны, скорость ракеты уменьшилась бы в корень квадратный из 60 раз, т.е. в семь с лишним раз. Однако вблизи Луны ракету существенно ускоряет гравитация Луны. Можно подсчитать (здесь этот расчёт не привожу), что с учётом гравитационного притяжения к Луне ракета подлетает к Луне со скоростью лишь примерно в 4 раза меньшей, чем начальная скорость на пассивном участке Земля --> Луна: округлённо это 2700 м/сек.

Таким образом: со скоростью 2700 м/сек к Луне подлетает ракета с массой 5725 кг.

4. По данным СМИ: ракета тормозится до скорости примерно 1600 м/сек для перехода на орбиту искусственного спутника Луны (ИСЛ) с высотой 110 км.

В калькуляторе:

Замечаем, что указанная скорость ~1600 м/сек совпадает с 1-й космической у Луны на высоте 110 км, которая равна 1630 м/сек. Изменение скорости V = 2700 - 1630 = 1070 м/сек. Тогда формула Циолковского даёт для массы ракеты на орбите ИСЛ:

5725·exp(-1070/2940)=3978 (кг)

5. Посадка на Луну:

По данным СМИ: перед посадкой отделены ставшие ненужными блоки с аппаратурой, обеспечившей полёт по трассе Земля --> Луна. На Луну опустилась масса 1880 кг.

В калькуляторе:

Изменение скорости V (до нуля) берём равным 1-й космической у Луны из предыдущего пункта: V=1630 м/сек. Массу ракеты перед посадкой возьмём также из предыдущего пункта, т.е. 3978 кг, пока не учитывая отделение лишних блоков. Тогда формула Циолковского даёт для массы ракеты, севшей на Луну:

3978·exp(-1630/2940)=2285 (кг).

Это немного больше реальных 1880 кг, однако и должно получиться больше, так как мы не учли сброс массы ненужных блоков и добавочную затрату топлива из-за гравитации Луны. "По порядку величины" согласие получилось хорошее.

Такая же оценка (2285 кг) получается и в том случае, если не разбивать посадку на два этапа - переход на орбиту ИСЛ и затем спуск на поверхность Луны, - а сразу взять изменение скорости V=2700 м/сек (до нуля на поверхности Луны) для ракеты с начальной массой 5725 кг.

6. Возвращение на Землю.

По данным СМИ: посадочная платформа осталась на Луне. Масса стартовавшей с Луны ракеты равна 512 кг. Двигатель разогнал ракету до скорости 2708 м/сек, выводя на траекторию возвращения Луна --> Земля. Удаляясь от Луны, ракета на трассе Луна --> Земля "подхватывается" тяготением Земли, так что вблизи Земли она оказывается ускоренной этим тяготением уже до скорости, близкой ко 2-й космической у Земли: ~ 11000 м/сек. Перед входом в плотные слои атмосферы отделяется возвращаемый аппарат массой 35 кг; он тормозится парашютами.

В калькуляторе:

Таким образом, пассивный полёт Луна --> Земля подобен пассивному полёту Земля --> Луна, он лишь происходит в обратном направлении. Нам нужно убедиться лишь, что при стартовой массе 512 кг и разгоне до 2708 м/сек формула Циолковского даёт для итоговой массы значение, превышающее 35 кг:

512·exp(-2708/2940)=204 (кг)

Как и ожидалось, без учёта отбрасываемых блоков получилась масса, с запасом включающая массу возвращаемого аппарата (35 кг). ОК.

Выше был пример с "Луной-16"; вот второй пример:

Пример 2: "Apollo-11".

По данным СМИ:

1. При старте с Земли на орбиту ИСЗ стартовая масса: 2750 тонн. На орбиту ИСЗ выводится масса: ~44 тонный корабль Apollo (это служебный отсек ~23 т, командный отсек ~6 т, и лунная кабина ~15 т) плюс ~117 тонная третья ступень двигателя с его топливом; итого: 161 т. На орбите ИСЗ высотой ~190 км скорость равна 7791 м/сек.

В калькуляторе:

Видно, что начальный этап здесь похож на начальный этап из "примера 1" (здесь лишь больше масштаб масс). Поэтому, как и в "примере 1", изменение скорости V возьмём равным 1-й космической скорости у Земли: V=7906 м/сек. Тогда формула Циолковского даёт для выводимой на орбиту ИСЗ массы:

2750·exp(-7906/2940)=187 (т)

Это больше, чем 161 т по данным из СМИ, однако по порядку величины оценка получилась верная. Лучшей точности здесь нельзя ожидать, поскольку, как уже пояснялось в примере 1, простая формула Циолковского не может быть точной на этапе взлёта.

2. Разгон с орбиты ИСЗ на траекторию полёта к Луне.

По данным СМИ: последняя, третья ступень двигателя разогнала Apollo до 10839 м/сек (т.е. примерно до 11000 м/сек, как и в примере 1). При этом масса отправившегося к Луне корабля Apollo (служебный отсек, командный отсек, плюс лунная кабина), составила 43.7 т.

В калькуляторе:

Изменение скорости (V=3275 м/сек) подсчитываем так же, как в примере 1. Тогда формула Циолковского даёт для массы, выводимой на траекторию полёта к Луне:

161·exp(-3275/2940)=52.8 (т)

Это больше, чем 43.7 т (наверное, опять потому, что у нас не учтено противодействовашее разгону земное тяготение), однако "по порядку величины" согласие получилось хорошее.

3. Пассивный (т.е. без разгона или торможения двигателем) полёт к Луне:

По данным СМИ на расстоянии 202136 км от Земли (т.е. примерно на полпути к Луне) скорость Appolo равнялась 1535 м/сек.

В калькуляторе:

На полпути к Луне скорость корабля понизилась из-за тяготения Земли, а разгоняющее притяжение к Луне влияет ещё мало, поэтому мы можем здесь оценивать скорость по формуле "однопланетной модели", имеющейся в калькуляторе. Однако результат сильно зависит от выбора начальных значений r' и v'. Точных данных о них у нас нет, поэтому положим просто, что у поверхности Земли (т.е. при r'=6378 км, это радиус Земли) скорость была бы равна 2-й космической: v'=11181 км/сек. Тогда при r=202136 км калькулятор даёт: 1987 м/сек, что "по порядку величины" согласуется с 1535 м/сек.

4. По данным СМИ, в конце пассивного пути Земля --> Луна скорость корабля была ~2500 м/сек. Двигателем служебного отсека корабль Apollo затормозился до 1600 м/сек на орбите ИСЛ высотой 111 км.

В калькуляторе:

Замечаем, что указанные скорости близки к скоростям в примере 1 на аналогичном этапе, поэтому изменение скорости выберем такое же, как там (в любом случае, ведь никто не запрещает затем поэкспериментировать с выбором и посмотреть, как меняется ответ). Тогда формула Циолковского даёт для массы корабля Apollo на орбите ИСЛ:

43.7·exp(-1070/2940)=30.4 (т)

Должно быть, это: ~15 т лунная кабина, ~6 т командный отсек, и ~9 т служебный отсек.

5. Посадка на Луну:

По данным СМИ, командный и служебный отсеки остались на орбите ИСЛ, на посадку пошла лунная кабина. Масса лунной кабины после посадки: 7211 кг.

В калькуляторе:

Изменение скорости V (до нуля) берём равным 1-й космической у Луны из предыдущего пункта: V=1630 м/сек. Тогда формула Циолковского даёт для массы лунной кабины, севшей на Луну:

15000·exp(-1630/2940)=8616 (кг).

Это больше, чем 7211 кг, однако и должно получиться больше, так как мы не учли добавочную затрату топлива из-за гравитации Луны. "По порядку величины" согласие получилось хорошее.

6. Возвращение на орбиту ИСЛ.

По данным СМИ, посадочная ступень лунной кабины (~2 т) осталась на Луне, а вернулась на орбиту ИСЛ и состыковалась с командным отсеком (для перехода космонавтов в командный отсек) взлётная ступень лунной кабины; её стартовая масса ~5 т, примерно половина этой массы - топливо для двигателя: 2.367 т.

В калькуляторе:

Изменение скорости V (от нуля) берём равным 1-й космической у Луны: V=1630 м/сек. Тогда формула Циолковского даёт для массы взлётной ступени, вернувшейся на орбиту ИСЛ к Apollo:

5·exp(-1630/2940)=2.87 (т).

"По порядку величины" это согласуется с указанными выше данными.

7. Возвращение на Землю.

По данным СМИ:

После перехода космонавтов из взлётной ступени в командный отсек на орбите ИСЛ включился двигатель служебного отсека, он дал кораблю Apollo (состоящему теперь из служебного отсека и командного отсека, ~15 т) приращение скорости 1003 м/сек для выхода на траекторию возвращения к Земле (т.е., как и в примере 1, на лунном конце пассивной трассы Луна--Земля скорость ~2600 м/сек).

Масса топлива в служебном отсеке перед полётом: 18.5 т. В пункте 4 мы видели, что на торможение Apollo для перехода с лунного конца пассивной трассы Земля--Луна на орбиту ИСЛ затратилось примерно (43.7-30.4)=13.3 тонн. Тогда оценка для оставшегося топлива в служебном отсеке: (18.5-13.3) = 5.2 тонн.

В калькуляторе:

Проверим, хватает ли 5.2 тонн топлива в служебном отсеке для разгона 15 тонн Apollo с орбиты ИСЛ на трассу Луна--Земля. Параметры V и Vг берём для единообразия оценок те же, что и в пункте 4. Тогда формула Циолковского даёт для массы Apollo, летящей к Земле:

15·exp(-1070/2940)=10.4 (т)

"По порядку величины" всё сошлось: потребовалось (15-10.4)=4.6 т топлива. Конечно, надо помнить, что наши оценки лишь приблизительные; тем не менее, противоречий с физикой не выявлено.

Концовка (так я её понял из СМИ): при подлёте к Земле Apollo был пассивно разогнан (гравитацией Земли) до примерно 2-й космической скорости у Земли. Перед входом в атмосферу командный отсек с космонавтами отделился от служебного отсека. Торможение осуществлялось парашютами.

Кое что, почти в тему ...
Тестовое ЕГЭ ( учебный год 20 / 21... ) :-)


Увеличить

Т80, а не напомните - как у танкистов/артиллеристов называются корректирующие таблицы при стрельбе по закрытым/дальним целям?


Насколько помню при дальней стрельбе используется карта магнитного склонения.
Ее сетка нанесена на все контурные карты армейцев.

У нас один орел, зам по военке главы района, заставил художника раскрасить на ней поля района с надписями и т.п.
Я зашел, увидел и говорю ему: " - А сетку склонения врагам оставил? Пусть любуются?"
Он опешил, задрожал и орет художнику: " - Срезай нах все контура с сеткой, к ебеням!"

На всякий случай (вдруг это будет интересно заглянувшим сюда каким-нибудь учащимся гражданам, да и ностальгия по былой преподавательской работе сказывается :) вот написал продолжение пояснений физики движения тела с постоянной массой m в гравитационном поле неподвижного тела с постоянной массой M. Ниже будет ссылка на рисунки (файлы png) и на видосики анимацию (файлы avi), сделанные с помощью Маткада, - для полной наглядности. Но сначала ещё порция теорминимума:

Что такое вектор ускорения a, поясняет алгоритм получения формулы для a по известной зависимости вектора скорости v от времени t. По сути это определение понятия "вектор ускорения". Алгоритм состоит из трёх шагов:

1. Сначала надо написать выражение для изменения скорости дv за какой-нибудь маленький интервал времени дt. (Слово "изменение" обозначают греческой буквой "дельта", которая выглядит как треугольник, но на клаве компа нет такой буквы, поэтому вместо неё здесь, на форуме, я пишу более удобную букву "д".) Вместо слова "изменение" говорят также "приращение", или "разность", или "difference" - всё эти термины означают одно и то же:

дv = (v в момент времени t+дt) - (v в момент времени t)

2. Затем полученное выражение дv надо разделить на дt. Величина дt считается маленькой, поэтому результат уже будет приближённо равен вектору ускорения a. Знак приближённого равенства на клаве компа отсутствует, пишу вместо него знак ~ :

a ~ дv/дt

3. Наконец, в полученном так выражении надо устремить дt к нулю; на практике в большинстве случаев это означает просто замену дt нулём. Этот шаг называется переходом к пределу со стремящимся к нулю интервалом времени: дt --> 0. В таком пределе два близких момента времени, t и t+дt, становятся совпадающими, поэтому считается, что результат относится к моменту времени t, и является точным:

a = дv/дt при дt-->0.

Люди договорились для удобства обозначать весь этот трёхшаговый алгоритм одним равенством

a = dv/dt

и называть его вычислением производной от v по t. Таким образом, по определению, вектор ускорения a есть производная от вектора скорости v (как функции времени) по времени. Термин "производная" это сокращение двух слов: "производная функция".


Это определение показывает также, как решать обратную задачу: как находить вектор скорости v (как функцию времени) по известной зависимости вектора ускорения a от времени. Идея вот какая:

Из приближённого выражения на шаге 2 видно, что, умножив известный вектор a на дt, мы получим (приближенно) вектор приращения скорости:

a·дt ~ дv

Затем подставив это изменение скорости в равенство из шага 1, можем выразить скорость в более поздний момент времени через скорость в ранний момент времени:

(v в момент времени t+дt) = (v в момент времени t) + a·дt

Равенство это приближённое. Однако оно тем более точное, чем меньший выбран интервал времени дt.

Затем полученный так вектор скорости v для момента времени t+дt мы берём на роль "скорости в ранний момент времени", и повторяем аналогичный расчёт с вектором a для более позднего момента времени. Тем самым мы получаем скорость для ещё более позднего момента времени: получаем v для момента времени t+дt+дt. И так далее.

Двигаясь так маленькими шажками дt по времени, приближённо находим скорость в дискретные моменты времени, отличающиеся от начального момента на 1·дt, 2·дt, 3·дt, и т.д. Это называется приближённым интегрированием. Чем меньше шажок дt, тем больше таких шажков придётся совершить, и тем точнее будет результат. В математике доказывается, что в пределе с дt-->0 (при этом количество шажков стремится к бесконечности) результат становится точным; об этом говорят так: скорость v есть интеграл по t от ускорения a.

Для такого расчёта скорости (как функции времени) надо знать зависимость ускорения a от времени и, кроме того, надо задать самый первый "ранний" вектор скорости - начальный вектор скорости, его я буду отмечать штрихом:

(v в какой-то начальный момент времени t') = v'


Совершенно аналогично вектор положения r движущегося тела связан с вектором скорости v. Вектор положения, называемый также "радиус-вектором", это воображаемая стрелочка, проведённая из начала координат в точку, в которой находится тело в данный момент времени. Вектор скорости v по определению есть производная от вектора положения r:

v = dr/dt

Эта формула символизирует алгоритм вычисления вектора v по известной зависимости вектора r от t (совершенно аналогичный указанному выше алгоритму вычисления a по известной зависимости v от t):

1-й шаг:
дr = (r в момент времени t+дt) - (r в момент времени t)

2-й шаг:
v ~ дr/дt

3-й шаг, переход к пределу:
v = дr/дt при дt-->0.

Это определение показывает также, как решать обратную задачу - как находить вектор положения r по известной зависимости вектора скорости v от времени: r есть интеграл по t от v. Приближённый расчёт для моментов времени, отличающихся от начального момента на 1·дt, 2·дt, 3·дt, и т.д. можно делать последовательным вычислением новых положений тела через старые:

(r в момент времени t+дt) = (r в момент времени t) + v·дt

Для такого расчёта надо знать зависимость v от времени и, кроме того, надо задать начальный вектор положения - его я отмечаю штрихом:

(r в какой-то начальный момент времени t') = r'

Реализацию всех этих общих соображений применительно к вычислению траекторий в поле тяготения неподвижного источника гравитации подробно описал здесь:

Увеличить


Наконец, вот ссылка на папку trajectories на яндекс-диске (там в файлах png-рисунков показан общий вид траекторий, причём на вставке с изображением линзы указано начальное положение и вектор начальной скорости в увеличенном виде (линза и фигурка человечка там, увы, не моё художество, скопипастил из известной замечательной книжки :-). В avi-файлах с такими же номерами, как и номера png-файлов, показана динамика движения по траектории с данными начальными условиями: можно непосредственно видеть, как меняется скорость с изменением расстояния до центра притяжения. Начальные условия приведены и в названиях avi-файлов):

https://yadi.sk/d/prpAvRpwKPO60Q
(графики траекторий и анимация)

(c)

Смех смехом, а случаи бывают разные.
К нам в класс пришел новый ученик, его оставили на второй год. На вопрос "что такое постоянный и переменный ток?"
Он ответил: "Постоянный, это у батарейки. А переменный в сети: то 220 вольт, то 205, то 230..."
Итог: через много лет, работая дежурным в котельной, погиб от удара током...